I numeri naturali

Per definire i numeri naturali sfrutteremo il concetto di enumerazione

Sui numeri naturali si possono effettuare le seguenti operazioni: Sui numeri naturali non sono  sempre effettuabili le operazioni inverse sottrazione e divisione.Proprietà generali:
  1. L'insieme dei numeri naturali è ordinabile, è sempre possibile determinare chi precede e chi segue quando si deve effettuare l'ordinamento di più numeri.
  2. Se a è minore di b allora deve esistere un numero c tale per cui.
    a + c = b
  3. Le operazioni somma e moltiplicazioni risultano essere commutative  
a + b = b + a     e    a b = b a
  1. Le operazioni inverse non sempre si possono effettuare nell'insieme dei numeri naturali.

Il numero zero non è un numero naturale. E' stato aggiunto all'insieme dei numeri naturali per permettere l'introduzione della notazione posizionale e per introdurre il concetto di numero neutro.

POSTULATI DEL NUMERO ZERO

  • Moltiplicando un numero per zero si ottiene per risultato zero.

  • A + 0 = 0 + A = A

  • Se A B = 0 allora o A = 0 oppure B = 0 (legge dell'annullamento del prodotto).
  • Non esiste il risulta dell'operazione numero diviso zero
    • se A / 0 = B allora Bx0=A (operazione assurda)
 

ASSIOMI DI PEANO.

Peano ha generalizzato quanto sopra riportato definendo i numeri naturali a partire dal numero 0 e introducendo il concetto di successivo e precedente. Assiomi di Peano:
  1.  0 è un numero.
  2. il successore di un numero è un numero ( il successore è il numero incrementato di una unità).
  3. 0 non è successore di alcun numero.
  4. Numeri con successori uguali sono uguali.
  5. Se l'insieme I contiene lo 0 e inoltre qualsiasi sia il numero scelto il suo successore appartiene all'insieme I, allora l'insieme I contiene tutti i numeri naturali.
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