Il concetto di struttura di gruppo è stata introdotta per permettere la definizione formale di operazione inversa effettuabile su tutti gli elementi di un insieme (numerico per il momento).
Questa definizione permette di individuare gli insiemi su cui effettuando l'operazione inversa (se l'operazione prescelta è la somma l'operazione inversa sarà la differenza; per il prodotto la divisione) è certo che il risultato non solo esiste ma è ancora un numero dello stesso insieme.
Un insieme numerico A ha struttura di gruppo rispetto ad una operazione scelta se:
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Se vale la proprietà commutativa il gruppo
sarà definito essere abeliano, ossia se è equivalente scrivere
L'insieme dei numeri naturali non ha struttura di gruppo né
rispetto all'operazione somma né rispetto all'operazione prodotto, in quanto
non vale la quarta proprietà. Oserviamo che non è detto che l'operazione inversa non
sia valida. Ad esempio la differenza si può effettuare purchè
il sottraendo sia maggiore del sottratto. 7- 5 = 2 (operazione lecita). 5-7
non si può fare. Lo stesso dicasi per la divisione 10 : 5 = 2 (operazione
lecita) 10 : 7 non si può fare. Un insieme ha struttura di gruppo rispetto ad un'operazione
solo se scegliendo a caso due elementi dell'insieme l'operazione inversa è
sempre lecita, ossia il risultato è ancora un numero dell'insieme. Se un insieme ha struttura di gruppo sia rispetto all'operazione
somma che all'operazione prodotto sarà un campo numerico se e slo se
rispondera a quanto richiesto dalla Un insieme numerico A ha struttura di Campo se sull'insieme
sono definite le operazioni di somma e di prodotto e se:per la somma: a+b=b+a <e> per il
prodotto a x b = b x a.
STRUTTURA DI CAMPO
a ( b+c)=
ab + a c
Se le operazioni godono della commutatività allora il campo è abeliano.