Per estendere l'insieme dei numeri naturali in modo che si possa sempre effettuare l'operazione inversa all'operazione somma, ossia in modo che abbia struttura di gruppo rispetto all'operazione somma si è effettuata la seguente estensione:
Dopo aver introdotto il concetto di scarto tra due numeri quale differenza tra il maggiore e il minore di due numeri qualsiasi ( ad esempio lo scarto tra 5 e 8 è 3 [8-5])Definiamo numero Intero relativo o semplicemente numero Z intero un qualsiasi numero ricavabile dall'operazione scarto tra due numeri naturali con le seguenti modalità:
Data la coppia (a;b) con a e b appartenenti all'insieme dei naturali:
se a > b allora definiremo numero positivo il valore a-b [(3,1) = + 2]
se a < b allora definiremo numero negativo il valore b - a [(1;3) = -2]
Sull'insiemeZ valgono tutte le proprietà e le operazioni definite su N
Analizzando il concetto di struttura di gruppo rispetto all'operazione somma valendo anche la 4° proprietà, detto insieme ha struttura di gruppo rispetto all'operazione somma ed è abeliano.
Consideriamo le coppie ordinate di numeri Z x Z (a;b) esprimibili come rapporto a / b. Definiamo l'insieme dei numeri così definiti insieme Q dei numeri razionali.
Un numero razionale è pertanto un qualsiasi numero esprimibile quale frazione di numeri interi Z
Sono razionali:
L'insieme Q ha struttura di campo abeliano, in quanto ha struttura di gruppo rispetto alle operazioni somma e prodotto ed inoltre vale la proprietà distributiva del prodotto rispetto la somma.