Rapporto incrementale

Assegnata la funzione y=f(x) e due suoi punti P₁(x₁;f(x₁)) - P₂(x₂;f(x₂)) chiameremo rapporto incrementale: 

Δy / Δx 

dove:

• Δy = f(x₂) - f(x₁)

• Δx = x₂-x₁

Normalmente è utile determinare il rapporto incrementale conoscendo y=f(x) il punto Po(x_o;f(x_o)) e l'incremento h. In questo caso il rapporto incrementale sarà  Δy / Δx dove:

Δy = f(x_o+h) - f(x_o)

Δx = x₀+h-x₀= h

In fisica il rapporto incrementale ha permesso la definizione di

1. velocità media ( variabile dipendente la posizione X e variabile indipendente il tempo t ) v_m= ΔX / Δt

2. accelerazione media  ( variabile dipendente la velocità V e variabile indipendente il tempo t ) a_m= Δv / Δt

In geometria analitica il rapporto incrementale è il coefficiente angolare della retta passante per i punti P₁ e P₂ ossia:

m= Δy / Δx

Derivata in un punto

Definiamo derivata in un punto il limite per Δx →0 del rapporto incrementale, se tale limite esiste ed è un numero finito.

Y' =Δy/Δx =dy/dx

In fisica la derivata ha permesso la definizione della velocità istantanea ( variabile dipendente la posizione X e variabile indipendente il tempo t )

v=X'= dX/dt

• accelerazione media  ( variabile dipendente la velocità V e variabile indipendente il tempo t )

a=v'= dv / dt

In geometria analitica la derivata è il coefficiente angolare della retta tangente alla funzione nel punto di ascissa x_o

m=y'= dy / dx 

L'equazione della retta tangente alla funzione y=f(x) nel punto x_o è:

y - f(x_o) = y'(x_o) ( x - x_o)

FUNZIONE DERIVATA

Se consideriamo una qualsiasi funzione y= f(x) e determiniamo la derivata nel generico punto X otteniamo la funzione derivata, ossia la funzione che ci permette di calcolare la derivata in un qualsiasi punto sostituendo alla X l'ascissa del punto in cui vogliamo determinare la derivata.