Studieremo ora due tipi di successioni particolari:
- Le progressioni aritmetiche
- Le progressioni geometriche.
Progressioni aritmetiche:
Chiameremo progressione aritmetica quella successione in cui la differenza tra i valori di due elementi successivi è costante.
Chiameremo tale differenza "ragione della progressione aritmetica" e la indicheremo con "d".
Avremo sempre: an =a n-1 +d
Partendo dalla definizione possiamo ricavare l'espressione da associare all'elemento ennesimo della progressione aritmetica: a1=a . . . a2=a+d . . . a3=a+2d . . . e in generale . . . an=a+(n-1)d
È possibile sommare i primi n elementi di una successione aritmetica:
Per calcolare la somma dei primi n termini di una progressione aritmetica è utile applicare la tecnica sviluppata da Cauchy , scrivendo su due righe i termini da sommare dal primo all'ennesimo e successivamente sulla seconda riga dall'ennesimo al primo e sommare i termini sulla stessa colonna.
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Si ottengono n+1 termini e ciascun termine vale 2a+nd. Pertanto la somma dei primi n+1 termini di una progressione aritmetica vale
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Pertanto la somma dei primi n termini sarà:
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