Per il momento opereremo su piani euclidei.
Si parte dalla premessa che valgano tutte le proprietà della geometria euclidea.
Ogni linea rappresentabile su un piano può essere vista come l'inviluppo di infiniti punti.
Se la linea è regolare ogni punto di una linea è caratterizzato dal possedere alcune proprietà geometriche. In questi casi la linea verrà identificata quale luogo geometrico dei punti del piano che ....
Partendo da questa premessa si è effettuata una corrispondenza tra punti del piano e coppie ordinate di numeri reali.
PREMESSA
E' possibile sempre associare ad ogni punto di una retta un numero reale relativo..Numeri e punti su una retta
Presa in considerazione una retta e scelto un verso di percorrenza, scelto un punto da associare al numero 0, si individua un secondo punto a cui si associa il numero 1.
Utilizzando quale unità di misura il segmento di estremi 0 e 1 è possibile associare ad ogni punto un numero reale e reciprocamente ad ogni numero reale un solo punto sulla retta orientata.
Consideriamo un piano euclideo. Ogni punto di tale piano è un ente geometrico per uno dei postulati della geometria Euclidea.
Se prendiamo in considerazione un foglio da disegno, che immaginiamo essere una porzione di un piano euclideo, possiamo rappresentare luoghi geometrici, poligoni, segmenti. In generale siamo portati ad associare lettere maiuscole ai vertici delle figure e altri simboli per rappresentare gli elementi caratterizzanti la figura.
E' possibile associare ad ogni punto un numero, in modo da identificare univocamente ogni punto del piano con lo stesso?
La risposta è negativa, al più possiamo associare ad ugni punto della retta un e un solo numero reale.
Consideriamo tutti i numeri reali, essi possono essere
messi in corrispondenza biunivoca, a ogni punto corrisponde uno e un solo
numero e viceversa, con i punti di una retta, questa retta sarà
chiamata retta orientata se fissiamo l'ordine della retta con i numeri
più piccoli a sinistra e i più grandi a destra, un punto che chiamiamo
origine e lo facciamo coincidere con lo 0.
Se consideriamo ora una nuova retta, anch'essa con
i punti in corrispondenza biunivoca con i numeri reali, fissiamo questa
retta perpendicolare (non è essenziale) alla retta di partenza
nell'origine e fissiamo un unità di misura per entrambe le rette, la seconda
retta avrà i numeri più piccoli in basso e i più grandi in alto. Chiameremo
queste rette assi cartesiani.
Prendendo in considerazione un punto qualsiasi del piano e tracciando da tale punto le parallele agli assi cartesiani tali rette intersecheranno ogni asse in un punto solo. Considerati i numeri reali associati a tali punto, potremo mettere in corrispondenza biunivova ogni punto del piano con una coppia ordinata di numeri reali.
L'insieme di tutte le coppie di numeri reali sono associate a tutti i punti del piano.