Come impostare un problema con incognita

Nelle tracce dei problemi di geometria analitica si richiede spesso l'utilizzo di un punto mobile appartenente ad un luogo geometrico.
Detto punto diventa il vertice di un poligono di cui si chiede l'area o il perimetro.
Il punto mobile verrà associato ad una o due variabili.

• punto appartenente al piano
• punto appartenente ad un luogo geometrico del tipo y=f(x)
• Punto appartenente ad un luogo geometrico del tipo f(x;y)=0 non esplicitabile semplicemente.

Punto appartenente al piano

Si associano al punto due variabili P(a;b) con 'a' e 'b' numeri reali. Eventuali vincoli saranno imposti dal testo.
Con questa tipologia di problemi in generale si determinano luoghi geometrici.
Questi potrebbero essere studiati solo per ricercare posizioni particolari (la massima ordinata,...)

Punto appartenente ad un luogo geometrico del tipo y=f(x)

Si associa al punto parametrico P(a;f(a)).
Ora:

1. Determinare l'insieme di validità della variabile a (visti i vincoli imposti dal testo);
2. studiare i casi limite;
3. ricavare in forma parametrica quanto richiesto dal testo;

Risoluzione

1. Se la richiesta consiste nel determinare la posizione del punto affinché valga una certa proprietà; dopo aver ricavata in forma parametrica la proprietà richiesta, risolvere l'equazione ottenuta.
   1. Le soluzioni saranno accettabili solo se appartengono all'insieme dei valori leciti.
2. Se la richiesta è del tipo: per quale valore della variabile imposta l'area e/o perimetro o ... risulta essere massima o minima; porre l'area e/o il perimetro uguale a y. Si ottiene una funzione esplicita associabile in generale ad un luogo geometrico noto. Rappresentare tale funzione e trovare il punto la cui ordinata soddisfa quanto richiesto.

Punto appartenenta ad un luogo geometrico del tipo f(x;y)=0

Si fa una sintesi delle due tecniche sovraesposte. Assegnare al punto mobile coordinate generiche P(a;b). Determinare i vincoli algerici di 'a' e di 'b'. Determinare parametricamente quanto richiesto.

Per determinare la relazione solo in 'a' o 'b' mettere a sistema quanto ricavato col luogo geometrico a cui appartiene il punto mobile. Risolvere il problema.