Dimostriamo utilizzando il principio di induzione.
Per effettuare una dimostrazione dobbiamo:
- Intuire una legge generale applicabile ad un insieme numerico;
- Verificare la sua applicabilità ad un certo numero di elementi (meglio molti);
- Affermare che la legge vale sempre; Applicarla in tutti i casi possibili.
Quanto scritto è VERO o FALSO?
È FALSO
Il principio di induzione richiede che la legge sia applicabile a tutti gli elementi dell'insieme.
La verifica su qualcuno non è sufficiente: è indispensabile dimostrare che, partendo dalla premessa che la legge sia corretta per il caso n-1, la legge valga anche per il caso n.
Sintesi e verifica
Vogliamo dimostrare che: 1+3+5+ . . . +(2n-1)=n2
Per fare questo useremo il principio di induzione: dobbiamo innanzitutto verificare che la legge vale per il 1o elemento.
Per dimostrare quanto richiesto scrivo innanzitutto la legge generale quindi sostituisco a n il valore 1 e ricavo 1. Quindi ho verificato che la legge vale per n=1
Supponiamo che sia corretta per n-1 ossia che:
1+3+ . . . +[2(n-1)-1] valga (n-1)2 .
Ora lo dimostriamo per:
1+3+5+ . . . +(2n-1) .
Dimostriamo la correttezza dell'asserto per n. 1+3+5+…+2(n-1)-1+ 2n-1=[1+3+5+…+(2(n-1)-1)]+ 2n-1
ma la somma dei termini dentro la parentesi quadra vale (n-1)2
quindi sostituendo
(n-1)2+2n-1 = n2-2n+1+2n-1 = n2
c.d.d.