Assiomi di Peano
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Abbiamo visto che ciascun assioma consente di ridurre progressivamente il campo dei modelli possibili tagliando fuori, via via, modelli che sono strutturalmente diversi dall'insieme dei numeri naturali (come l'insieme vuoto o insiemi con numero finito di elementi o strutture cicliche). Ora ci potremmo chiedere: siamo sicuri che i quattro assiomi siano sufficienti ad escludere tutti i modelli "non buoni" e, quindi, |
caratterizzare univocamente la struttura dei numeri naturali o, magari, occorrono altri assiomi?
Come introdurre teoricamente i numeri naturali?
La miglior proposta è quella fattaci alla fine del 1700 da Peano e Dedekind
I postulati di Peano-Dedekind
Elaborati a fine '800 e inizio '900, costituiscono la prima versione semiassiomatica dell'aritmetica classica sull'esistenza dell'insieme infinito N dei numeri naturali, assumendo numero naturale, zero e successore come concetti primitivi, soddisfi le proprietà seguenti, nelle quali M è un qualunque sottoinsieme non vuoto di N: |
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(1) |
0 appartiene ad N |
(2) |
se n appartiene a N allora il suo successivo appartiene ad N |
3) |
per ogni numero appartenente ad N il suo successivo non è 0 |
(4) |
se due successivi coincidono allora i due numeri sono uguali |
(5) |
Se M è un sottoinsieme di N e per ogni elemento di M il successivo appartiene a M allora M coincide con N |
Il quinto postulato è l’assioma di induzione, su cui si basa il principio d'induzione matematica |
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Il problema dello zero -
Peano considerò lo 0 oppure no? A seconda delle fonti, i suoi 5 postulati, base dell'aritmetica, si possono trovare enunciati in due modi differenti: uno che considera lo 0 come primo elemento di N ed uno che parte invece da 1.
Per riassumere
I numeri naturali godono delle seguenti proprietà:
1 (o lo 0) è un numero naturale;
Ogni numero naturale ammette un successivo che si ottiene incrementando di una unità il numero stesso;
Ogni numero naturale ammette un precedente (numero -1) escluso il numero 1 (o lo 0) che non è preceduto da nessun altro numero.
I numeri naturali sono ordinabili (assegnati due numeri distinti è sempre possibile determinare il minore dei due) e vale la proprietà transitiva: se a<b e b<c allora a<c.
L'insieme dei numeri Naturali è un insieme infinito (per la seconda definizione).
Esistono insiemi (pensa ai numeri reali) infinitamente più densi dell'insieme dei numeri naturali e che non potranno mai essere messi in corrispondenza con gli stessi.
Questi insiemi non saranno numerabili.