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Christopher Kent Mineman - Didattica in rete

Assiomi di Peano

Assiomi di Peano

numeri Abbiamo visto che ciascun assioma consente di ridurre progressivamente il campo dei modelli possibili tagliando fuori, via via, modelli che sono strutturalmente diversi dall'insieme dei numeri naturali (come l'insieme vuoto o insiemi con numero finito di elementi o strutture cicliche). Ora ci potremmo chiedere: siamo sicuri che i quattro assiomi siano sufficienti ad escludere tutti i modelli "non buoni" e, quindi,

caratterizzare univocamente la struttura dei numeri naturali o, magari, occorrono altri assiomi?

Come introdurre teoricamente i numeri naturali?

La miglior proposta è quella fattaci alla fine del 1700 da Peano e Dedekind

I postulati di Peano-Dedekind


Elaborati a fine '800 e inizio '900, costituiscono la prima versione semiassiomatica dell'aritmetica classica sull'esistenza dell'insieme infinito N dei numeri naturali, assumendo numero naturale, zero e successore come concetti primitivi, soddisfi le proprietà seguenti, nelle quali M è un qualunque sottoinsieme non vuoto di N:

(1)

0 appartiene ad N

(2)

se n appartiene a N allora il suo successivo appartiene ad N

3)

per ogni numero appartenente ad N il suo successivo non è 0

(4)

se due successivi coincidono allora i due numeri sono uguali

(5)

Se M è un sottoinsieme di N e per ogni elemento di M il successivo appartiene a M allora M coincide con N

Il quinto postulato è l’assioma di induzione, su cui si basa il principio d'induzione matematica

Il problema dello zero -
Peano considerò lo 0 oppure no? A seconda delle fonti, i suoi 5 postulati, base dell'aritmetica, si possono trovare enunciati in due modi differenti: uno che considera lo 0 come primo elemento di N ed uno che parte invece da 1.

Per riassumere

I numeri naturali godono delle seguenti proprietà:

1 (o lo 0) è un numero naturale;
Ogni numero naturale ammette un successivo che si ottiene incrementando di una unità il numero stesso;
Ogni numero naturale ammette un precedente (numero -1) escluso il numero 1 (o lo 0) che non è preceduto da nessun altro numero.
I numeri naturali sono ordinabili (assegnati due numeri distinti è sempre possibile determinare il minore dei due) e vale la proprietà transitiva: se a<b e b<c allora a<c.
L'insieme dei numeri Naturali è un insieme infinito (per la seconda definizione).
Esistono insiemi (pensa ai numeri reali) infinitamente più densi dell'insieme dei numeri naturali e che non potranno mai essere messi in corrispondenza con gli stessi.
Questi insiemi non saranno numerabili.