Christopher Kent Mineman - Didattica in rete

INTEGRALI GENERALIZZATI

Abbiamo visto che cosa significhiamo da un integrale definito dove entrambi i limiti di integrazione sono limitati . In molte applicazioni importanti di integrazione verrete attraverso i casi dove uno o più dei limiti di integrazione è infinito. Ci sono tre possibilità:

 

integrale -infinito a f(x)dx oppure a infinitof(x)dx oppure meno infinito pi` infinitof(x)dx

 

L' interpretazione di questi è che devono essere prese come casi di limite degli integrali corrispondenti con gli estremi limitati. Per esempio,
$\displaystyle \int_{a}^{\infty}$ f (x)   d x = $\displaystyle \lim_{b\to\infty}^{}$$\displaystyle \int_{a}^{b}$ f (x)   d x
$\displaystyle \int_{-\infty}^{a}$ f (x)   d x = $\displaystyle \lim_{b\to-\infty}^{}$$\displaystyle \int_{b}^{a}$ f (x)   d x
Ecco un semplice esempio: si consideri l' integrale
$\displaystyle \int_{1}^{\infty}$$\displaystyle {\frac{dx}{x^2}}$
Ora, per qualsiasi valore positivo limitato della b ,
$\displaystyle \int_{1}^{b}$$\displaystyle {\frac{dx}{x^2}}$ = $\displaystyle \left[\vphantom{ \frac{-1}{x} }\right.$$\displaystyle {\frac{-1}{x}}$$\displaystyle \left.\vphantom{ \frac{-1}{x} }\right]_{1}^{b}$ = 1 - $\displaystyle {\frac{1}{b}}$
Ora guardiamo il comportamento di limitazione come b $ \to$$ \infty$. Nel limite 1 / b $ \to$ 0 e così il valore dell' integrale tende a 1. Di conseguenza
$\displaystyle \int_{1}^{\infty}$$\displaystyle {\frac{dx}{x^2}}$ = 1.

Naturalmente, nella maggior parte dei casi i limiti non esisteranno, in tale caso neanche anche l' integrale esisterà. Per esempio,

x   d x = 1/2 a 2 = + ∞
Questo limite esiste, ma non è un numero finito, pertanto non esiste l'integrale.

Consideriamo ora questo integrale generalizzato:

cos   x   d x = sin   a
È evidente che in questo caso il limite non esiste, oscillando il seno fra -1 e 1 e di conseguenza neanche l'integrale.