Christopher Kent Mineman - Didattica in rete

LINEARITA' DELLO SPAZIO DEGLI INTEGRALI

Si ricavano quali conseguenze immediate delle corrispondenti proprietà delle derivate. Integrali sempre definiti a meno di una costante. Siano f (x) e g (x) due funzioni e K un costante. Allora

$\displaystyle \int$K f (x) d x= K $\displaystyle \int$f (x) d x
$\displaystyle \int$ [f (x) + g (x)] d x= $\displaystyle \int$ f (x) d x + $\displaystyle \int$g (x) d x
a condizione che gli integrali esistano.

Queste regole ci permettono di ridurre un integrale in una somma di integrali elementari che possono essere velocemente determinati..

1º esempio:

$\displaystyle \int$( 2 x + e x)d x = 2 $\displaystyle \int$ x d x + $\displaystyle \int$ e x d x = x 2 + e x + C

2º esempio:

$\displaystyle \int$ (sen x + 2 cos x) d x = $\displaystyle \int$ sen xd x + 2 $\displaystyle \int$cos x d x = - cos x + 2 sen x + C

Proprietà dell' integrale definito

Se supponiamo che la funzione la f (x) sia integrabile allora:

PROPRIETA'

DIMOSTRAZIONE
$\displaystyle \int_{a}^{b}$ f (x) d x = - $\displaystyle \int_{b}^{a}$ f (x) d x

F ( b) - F ( a ) = - ( F ( a ) - F ( b))
$\displaystyle \int_{a}^{b}$f (x)d x + $\displaystyle \int_{b}^{c}$f (x)d x=$\displaystyle \int_{a}^{c}$f(x) d x

(( F ( b) - F ( a )) + ( F ( c) - F ( b))

= F ( c) - F ( a )

Ulteriori proprietà dell' integrale definito

L' interpretazione di `area ' dell' integrale definito ci dà le seguenti proprietà supplementari:

se

allora
f (x) $\displaystyle \ge$ 0 in [ a , b ] $\displaystyle \int_{a}^{b}$ sulla f (x) d x $\displaystyle \ge$ 0
f (x) $\displaystyle \ge$ g (x) [ a , b ] $\displaystyle \int_{a}^{b}$ sulla f (x) d x $\displaystyle \ge$$\displaystyle \int_{a}^{b}$ g (x) d x
m1 $\displaystyle \le$ f (x) $\displaystyle \le$ m2 in [ a , b ] m1 ( b - a ) $\displaystyle \le$$\displaystyle \int_{a}^{b}$ f (x) d x $\displaystyle \le$ m2 ( b - a )
in ogni caso:
 $\displaystyle \left\vert\vphantom{\int_a^b f(x) dx}\right.$$\displaystyle \int_{a}^{b}$ f (x) d x $\displaystyle \left.\vphantom{\int_a^b f(x) dx}\right\vert$$\displaystyle \le$$\displaystyle \int_{a}^{b}$ | f (x) | d x