Consideriamo il grafico di y = f (x) nell' intervallo [ a , b ] e ruotarlo attorno all'asse x in modo da ottenere il solido di rotazione come indicato nella figura. Come calcolare il volume di questo solido?

Suddividere l' intervallo [ a , b ] in n (con n estremamente grande) parti di lunghezza dx e considerare gli infiniti cilindri di raggio f(x) e altezza dx.
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Nella notazione dello schema, la fetta sottile del solido è virtualmente un cilindro del raggio f(x) e di spessore dx . Il volume d'un cilindro è il prodotto della relativa altezza e della zona della relativa base. Così otteniamo l' approssimazione d V = [f(x)] 2 d x per il volume della sezione infinitesima.
L' approssimazione al volume totale può allora essere scritta come (Y = f(x) )

Sfera
Presa il semicerchio delimitato dalla semicirconferenza
y =
nell'intervallo [ - r , r ] e fatta una rotazione
di 360º attorno all'asse x. Otteniamo, come solido di rotazione,
una sfera di raggio r .
La nostra formula ci dice che il volume di questa sfera sarà e calcoliamo l'integrale associato:






![$\displaystyle \left.\vphantom{ \pi r^2x - \frac{1}{3}\pi x^3}\right]_{-r}^{r}$](img183.gif)


Così il volume d'una sfera del raggio r è


Un altro esempio
Considerato l' imbuto costituito dalla presa della curva y = 1 / x e dalla rotazione esso intorno all'asse x nell' intervallo [ 1, a ], come indicato nella figura
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Il volume di questo imbuto è





![$\displaystyle \left.\vphantom{-\frac{\pi}{x}}\right]_{1}^{a}$](img189.gif)


Ora notare che, se a ,
questo volume tende a
Scriviamo










