Christopher Kent Mineman - Didattica in rete

Lavoro ed Energia Cinetica

Il lavoro, che è il prodotto scalare della Forza per lo spostamento.

E' un particolare prodotto tra vettori il cui risultato è uno scalare ossia un numero reale.

La nuova grandezza che associamo al lavoro è l'energia.

Se il lavoro è positivo il corpo acquista energia, mentre se è negativo il corpo perde energia.

Per determinare il lavoro possiamo utilizzare due strumenti matematici.

Se la forza e lo spostamento vengono visualizzati come segmenti orientati scriveremo:

L = F s cos a

Se la forza e lo spostamento vengono espressi in coordinate vettoriali: F(Fx;Fy;Fz) e S(Sx;Sy;Sz) il lavoro verrà determinato da:

L=FxSx+FySy+FzSz

Per trovare il lavoro di una forza, consideriamo quattro casi particolari:

lavora L = F·s
lavora L = F·s·cos α
lavora L=0
lavora L=-F.S

Energia Cinetica

Un corpo di massa m e velocità v è dotato di energia, detta energia cinetica per il fatto di essere associata al moto.

Tale energia è espressa dalla relazione
Ec = ½·m(massa)·v2(velocità)

Un altro modo di scrivere la formula per calcolare l’energia cinetica è…
Ec = P2(quantità di moto)/2m

…poiché

½·m·v2 = m2·v2/2m = P2/2m

In quanto P = m·v
…e quindi m2·v2=P2
L’energia cinetica di un corpo è associata al lavoro della forza F dalla seguente relazione L= ΔEc

Questa formula è stata dedotta a partire dalle leggi della dinamica e pertanto la correttezza di quelle leggi comporta la sua correttezza.

Per la dimostrazione partiamo dall'analisi di un corpo sottoposto all'azione di una forza costante e che si muove nella direzione coincidente con la direzione della forza con velocità iniziale vi.

Nel moto rettilineo uniformemente accelerato abbiamo

a=(v2 -vi)/t

L = F•s = m•a•s

Dalle leggi della cinematica:

x-x0 = ½at2 + vit e quindi

x-x0 =½[(v2-vi)/t] t2 + vit

x-x0 =½[(v2 • vi)] t + vit

x -x0 =½[<(v2 +vi)] t

Pertanto il lavoro

L = [m•(v2 -v1)]/t•½t(v2 + v1)=½m (v22 - v12)

L =½mv22- ½mv12

Energia Cinetica

La formula contiene variabili che dipendono solo dalla velocità finale e dalla velocità iniziale. Non ci sono mezzo velocità intermadie e non cioé velocità prima che la forza cominciasse a spingere. La grandezza che dipende solo da una massa e da una velocità, la chiamiamo Energia Cinetica.

Quindi Lavoro = Ecf-Eci(teorema delle forze vive)

 

Problemi


1. Un missile di massa 80 kg sta viaggiando negli spazi interplanetari verso la destra di un osservatore O con una velocità di 300 m/sec. A un certo istante esplode in due frammenti, uno di 50 kg e uno di 30 kg. L’osservatore O valuta ora che il primo dei due spezzoni viaggia verso la sua sinistra con la velocità di 200 m/sec. In base a questo dato determinare la velocità del secondo spezzone, sempre rispetto all’osservatore O.


Prima Dopo

massa=80 kg m1=30 kg m2=50 kg
velocità=(300;0) v1=(-200;0) v2=(vx;vy)

P=m·v

Pprima = Pdopo
80(300;0) =30(-200;0)+50(vx;vy)
(24000;0) =(-6000;0)+(50vx;50vy)
(24000;0) =(50vx-6000;50vy+0)
   

Risolvendo per componenti:
50vx-6000 =24000
50vx=30000
vx=600

50vy+0=0
50vy=0
vy=0

v2 =(600;0)=600 m/sec lungo l'asse x


2. Un oggetto di massa 200 kg si disintegra in due parti; una parte, di massa 50 kg, si sposta verso sinistra su una retta che forma un angolo di 30° con l’asse x ad una velocità di 400 m/sec. Sapendo che l’oggetto all’inizio è fermo, calcolare la velocità a cui viaggia dopo.

Prima Dopo
massa=200kg m1=50 kg
m2=150 kg
velocità=(0;0) v1=(-346;200)
v2=(vx;vy)

Pprima

=Pdopo
(0;0) =m1·v1+m2·v2
(0;0) =50(-346;200)+150(vx;vy)
(0;0) =(-17300;10000)+(150vx;150vy)
(0;0) =(150vx-17300)+(150vy+10000)

150vx-17300=0
vx=115


150vy+10000=0
vy=-66


v2=(115;-66)=

|v|=(1152+662)1/2=133 m/sec