Christopher Kent Mineman - Didattica in rete

Dilatazione dei tempi

1. La velocità con cui la luce si propaga nel vuoto vale c, qualunque sia l'osservatore che lo determini e qualunque sia la sorgente da cui sia stata emessa.
2. Tutti i sistemi inerziali (moto libero) devono ricavare le stesse leggi fisiche.

Tutti gli esperimenti effettuati utilizzando l'interferometro di Michelson-Morley hanno dimostrato che la velocità con cui la luce raggiunge l'apparato sperimentale assume sempre lo stesso valore sia che la terra si muova verso la stella da cui proviene la radiazione luminosa sia che se ne allontani. L'apparato è abbastanza sensibile da poter rilevare differenze di velocità inferiori ai quaranta chilometri all'ora, che è la velocità di traslazione della terra.

Einstein intuì che si doveva riformulare la relatività galileiana, inadeguata per spiegare ciò che si osservava e non in grado di fare previsioni attendibili per quanto concerne la velocità con cui si propaga la luce nei vari contesti.

Ipotizziamo che la velocità di propagazione della luce nel vuoto sia costante e non dipenda dal sistema di riferimento e parimenti accettiamo l'idea che spazio e tempo non sono più grandezze assolute, in quanto il rapporto tra strada percorsa dal raggio luminoso e il tempo impiegato deve sempre dare c.

Se

c=299.792.458 m/sec = 2,99792458 10⁸ m/sec

per qualsiasi osservatore in qualsiasi contesto si operi, allora se la traiettoria apparentemente seguita dalla luce in due sistemi di riferimento in moto l'uno rispetto all'altro è diversa e più lunga di quella rilevata nel sistema di riferimento in cui si effettua realmente l'esperimento; dovendo ricavare la stessa velocità i due osservatori dovranno misurare intervalli temporali diversi.

Il primo osservatore affermerà che l'evento viene registrato sempre nello stesso punto. Qui parte l'impulso luminoso, qui torna dopo un intervallo temporale Pertanto il tratto L Laser specchio è pari a
Il secondo invece osserverà che il primo sistema è in moto e pertanto rileva:	L'apparato sperimentale si è mosso come riportato nella figura sovrastante.

Ritorniamo all'esempio fatto, dopo aver posto gli intervalli temporali pari alla metà dell'intervalo misurato dai cronometri, volendo analizzare solo il tempo impiegato dal laser per colpire lo specchio riflettente:

Osservatore che effettua l'esperimento determina

Osservatore che vede il primo sistema muoversi a velocità v_rel >0,1 c determina

Confrontando quanto ricavato dovendo assumere c sempre lo stesso valore avremo:

Da questo si ricava che il tempo misurato dal sistema di riferimento non solidale con quello in cui si è effettuato l'esperimento rileva sempre intervalli temporali maggiori, ossia in ogni caso

Da adesso in poi chiameremo il tempo proprio, ossia il tempo rilevato dall'osservatore presente nello stesso sistema di riferimento in cui si è effettuato l'esperimento.

Il tempo proprio verrà indicato con e l'intervallo di tempo proprio con e scriveremo la prima relazione come:
E' importante mettere in evidenza che non esiste un sistema di riferimento privileggiato a cui associare . In ogni sistema possiamo determinare il tempo proprio se effettuamo un esperimento nel quale abbiamo che l'inizio e la fine dell'evento analizzato avviene nello stesso punto.

Intervallo di Lorentz

In relatività non è facile ricavare leggi di conservazione.

Per semplificare le previsioni e la risoluzione dei problemi dobbiamo ricavare relazioni invarianti, sempre valide in tutti i sistemi di riferimento.

Chiameremo grandezze scalari quelle legate agli invarianti relativistici.

Partendo da un diverso aproccio dell'esperimento descritto ricaveremo il primo di questi scalari.

Come ricavare un legame tra L e L₁?

Utilizzando il teorema di Pitagora:

Questa relazione lega il tempo rilevato dall'osservatore 'in quiete' che ha effettuato l'esperimento tra due eventi che avvengono nello stesso punto (start e stop del cronometro) e il tempo rilevato da un altro osservatore in moto rispetto al primo e che rileva lo stesso evento.
è un invariante in quanto l'intervallo temporale di chi ha effettuato nel proprio sistema di riferimento la rilevazione del tempo intercorso tra due eventi che avvengono nello stesso posto.
Tutti gli altri osservatori affermeranno invece che gli eventi avvengono in posizioni diverse x₁ e x₂ (ipotizziamo sempre per nostra comodità che il moto relativo avvenga sempre lungo l'asse x).
La relazione sovrastante ha valore universale, vale per tutti. La potremo generalizzare scrivendo:

lo chiameremo intervallo di Lorentz o più semplicemente intervallo.
La relazione ricavata verrà utilizzata spesso nello studio di eventi nello spazio-tempo. E' utile osservare che c Δ t è una lunghezza pari ai metri percorsi dalla luce nell'intervallo. Pertanto è utile ridefinire il concetto di intervallo temporale definendo l'unità di tempo metrico pari a 1/c metri = 1 secondo. Con questa nuova definizione si associa a c Δ t l'intervallo metrico Δ t ( il tempo qui è misurato in metri non in secondi) e l'intervallo di Lorentz prende questa forma: