Christopher Kent Mineman - Didattica in rete

In figura e' mostrato lo schema di un ciclotrone: esso consiste di una cavità metallica cilindrica piatta divisa in due metà, che indicheremo con D₁ e D₂, posta in un campo magnetico uniforme B, parallello all'asse.
Le due cavità sono isolate e sono connesse ai poli di un generatore che fornisce una tensione del tipo V=Vo cos(ωt), detta radiofrequenza.
Quando lo ione percorre una delle cavità (V_cav=cost, E_cav=0) non subisce alcuna forza elettrica, mentre invece viene accellerato quando attraversa la regione tra le due D in cui c'è campo elettrico variabile con legge sinusoidale (E=V/d).
Appena inserito nel ciclotrone, nella zona tra le due D, lo ione è sottoposto alla forza elettrica e acquista energia cinetica:E_cinetica=qV_x.

V è la differenza di tensione tra le due armature affacciate e coincidenti alle superfici piane delle due D. e x la distanza fra le due armature.

Entrando all'interno di una delle due D il campo B costringe lo ione a compiere una traiettoria circolare. Nel nostro caso operiamo tenendo presente che all'interno delle D la carica risulta essere sottoposta alla forza di Lorentz con F=qvB e per la geometria del sistema è uniforme e perpendicolare alla direzione di v e appartenente al piano su cui si muove la carica q.

Pertanto la particella carica si muove di moto circolare uniforme e possiamo scrivere:

e pertanto il tempo impiegato a percorrere mezza circonferenza risulta essere:

Detto tempo non dipende né dal raggio né dalla velocità iniziale e pertanto percorre sempre nello stesso intervallo temporale la semicirconferenza, fino a quando non varia la massa ossia finché un raggiungiamo velocità maggiori 1/2 c.

Dopo aver percorso una semicirconferenza all'interno di una D lo ione si riaffaccia all'intercapedine; se nello stesso tempo la radiofrequenza ha cambiato di segno lo ione subisce un'ulteriore accellerazione e il processo si ripete ad ogni semigiro fino a che viene raggiunta l'orbita di raggio massimo e la particella, con un'opportuno meccanismo, viene deflessa all'esterno del ciclotrone.

Analizziamo adesso quantitativamente il moto appena descritto. Se la particella α uscita dalla sorgente viene accellerata proprio dalla differenza di potenziale Vo, la velocità con cui essa entra per la prima volta in una delle D del ciclotrone è data da ½ mv₁²=qV; dopo un tempo

t₁=½(2 πr₁)/v₁=πm/(qB)

lo ione esce da D₁ per entrare in D₂. Se nello stesso tempo la radiofrequenza ha cambiato di segno lo ione subisce una seconda accellerazione tra D₁ e D₂ e si ha

(1/2)mv₂²=½mv₁²+qV=2qV ossia l'energia cinetica dopo aver percorso 2 volte il campo elettrico è pari al doppio di quella acquisita dopo aver percorso il primo tratto tratto.

All'interno di D₂ lo ione compie una semicirconferenza di raggio r₂=(mv²)/(qB)>r₁ nel tempo

t₂=(1/2)(2πr₂)/v₂=πm/(qB)=t₁

il tempo di percorrenza di un'orbita circolare in campo magnetico non dipende dalla velocità della particella.

Pertanto si ricava che il tempo impiegato per percorrere una semicirconferenza è costante mentre ad ogni giro la particella avrà acquisito una energia cinetica pari a 2qV.

La condizione di funzionamento è dunque che il tempo t impiegato a percorrere mezzo giro sia uguale al semiperiodo della radiofrequenza ovvero

T_RF =(2π)/ω_RF = qB/m

ω_RF=qB/m=ω

la pulsazione della radiofrequenza deve essere uguale alla velocità angolare degli ioni. Il processo continua finchè lo ione raggiunge il raggio massimo R, determinato dalle dimensioni del magnete del ciclotrone. A tale raggio corrisponde la velocità massima dello ione,

v_max=qBR/m,

quindi l'energia cinetica massima è

E_cinetica,max=(1/2)mv²_max=q²B²R²/(2m)

Dal momento che ad ogni giro lo ione acquista l'energia cinetica 2qV, il numero di giri per raggiungere l'energia cinetica massima è :

N=E_cinetica,max/2qV=qB²R²/(4mV)

a cui corrisponde il tempo

t_N=2πmN/(qB)=πR²B/(2V).

A tal punto con un opportuno meccanismo il fascio di ioni accellerati viene deflesso all'esterno del ciclotrone e guidato verso la zone di utilizzazione e può avere inizio un nuovo ciclo di accellerazione; si dice che il ciclotrone è una macchina a funzionamento pulsato, cioè non continuo. Anche questo metodo presenta una limitazione fondamentale. Al crescere della velocità delle particelle la loro massa cambia e cambia di consegnuenza la loro velocità angolare( ω); più comunemente ci si riferisce alla frequenza di rivoluzione che deve essere scritta

ν=qB/(2πm)

All'aumentare di v la frequenza ν diminuisce e si perde il sincronismo con la radiofrequenza che ha la frequenza fissa ν_RF=ν_o ; dove ν_o  è la cosiddetta frequenza di ciclotrone che si riferisce alla massa a riposo ovvero a piccole velocità. Lo ione non risente più della stessa d.d.p. accelleratrice e finisce per presentarsi nell'intercapedine tra le due D in istanti in cui la d.d.p. è di segno sbagliato, venendo decelerato.

Il valore massimo di energia cinetica raggiungibile dagli ioni risulta dell'ordine di qualche decina di MeV. Risulta inoltre che il metodo è inapplicabile agli elettroni i quali, avendo massa molto inferiore a quella deglio ioni, raggiungono molto presto velocità relativistiche e subiscono notevoli variazioni di massa.

La difficoltà descritta e' stata parzialmente superata agendo su ν_RF che viene opportunamente diminuita durante il processo di accellerazione in modo da seguire la variazione della frequenza di rivoluzione; a questo punto però il limite viene posto dalle dimensioni del magnete, in quanto al crescere dell'energia deve crescere R. Il più grande ciclotrone a frequenza variabile, detto sincrociclotrone, ha raggiunto energie di circa 600 MeV con fasci di protoni.

Per ottenere energie superiori è stato inventato un diverso sistema magnetico, utilizzato sempre in combinazione con il principio dell'orbita circolare che consente di riapplicare la d.d.p. acceleratrice; la macchina è denominata sincrotrone e la realizzazione maggiore attualmente funzionante permette di ottenere protoni con energia di 1TeV.