Christopher Kent Mineman - Didattica in rete

Per capire il concetto di sezione d’urto è possibile rifarsi ad un esperimento che coinvolga dei palloncini e dei proiettili sparati contro di essi (interazione palloncino-proiettile).
Dalla figura si può notare che la probabilità di colpire un palloncino dipende da tre fattori:

n numero di palloncini per unità di volume [pertanto il numero di palloncini che occupano il volume preso in considerazione N= nV = n Sh] Dallo spessore h dello strato da essi occupato ; Dalla superficie, o sezione (sT), che i palloncini presentano nella direzione dei proiettili. C’è quindi una relazione tra la densità dei palloncini, lo spessore da essi occupato e la sezione che i palloncini rivolgono verso i proiettili in arrivo, che esprime la probabilità di un contatto tra palloncini e proiettili, attraverso la seguente formula:

Da questo semplice esempio è possibile generalizzare la formula, che ha validità per qualunque esperimento di scattering.
Consideriamo un esperimento qualsiasi in cui un fascio di radiazioni o particelle si muovono in un cono di sezione ds (sezione del cono in corrispondenza del centro diffusore. Detto fascio viene diffuso in tutte le direzioni anche se noi nel caso in esame consoderiamo solo l'angolo solido dW compreso tra T e T+ dT e le radiazioni o le particelle vengono rilevate solo se entrano nell'angolo solido dW che il rilevatore è in grado di intercettare.

Cerchiamo ora di comprendere più nello specifico cosa si intende per sezione d’urto differenziale.

definizione di angolo solido:è una grandezza geometrica tridimensionale.
Consideriamo una sfera trasparente di raggio r = 1 m. con al centro C una sorgente luminosa puntiforme che illumina la zona S = 1 m².
Si definisce angolo solido dw lo spazio racchiuso nel cono di luce di base S e di vertice C; l' unità di misura è lo steradiante, ovvero dw=S/ r²

Come nel caso dei palloncini, la probabilità che una particella venga osservata dal rivelatore, è direttamente proporzionale al numero n dei centri diffusori, allo spessore h da essi occupato, dipende dal rapporto fra i due angoli solidi T e T+ dT ed il coefficiente di proporzionalità è costituito dalla zona di deflessione dW.
La formula della proporzionalità risulta quindi essere:

Qui si evidenzia il rapporto o sezione d’urto differenziale, costituita quindi dal rapporto fra la zona di deflessione determinata dal centro diffusore e la zona riempita dalle particelle deflesse.
Se noi riscriviamo l’angolo solido dW come rapporto fra la superficie S del rivelatore ed il quadrato della distanza r², visto che è così calcolabile, e poi sostituiamo questa scrittura nella precedente formula della probabilità, otteniamo nuovamente la scrittura già trovata nell’esempio dei “palloncini”.

Per spiegare i dati sperimentali ricavati da Geiger e Marsden, Rutherford ipotizzò un modello per gli atomi del target che attribuisse loro certe caratteristiche:

• Come abbiamo visto, grandi angoli di deflessione dovevano dipendere da un singolo urto
• Possiamo pensare all’atomo come formato da un nucleo puntiforme di carica Ze il quale possiede tutta la massa dell’atomo stesso e da una zona attorno ad esso di carica Ze- pressoché vuota (ciò è spiegabile con il fatto che la maggior parte delle particelle ? proseguono indisturbate)
• Dopo l’urto il nucleo resta pressoché indisturbato, essendo immobile e non acquistando energia
• L’unica forza che consideriamo nell’esperimento è quella elettrostatica (perché le particelle ? sono cariche positivamente e di conseguenza devono essere deflesse da cariche elettriche)
• Se la deflessione non è troppo piccola l’interazione si considera avvenire con il solo nucleo, e non con il campo che lo attornia
• L’interazione non è descritta attraverso la relatività, in quanto le energie in gioco non sono sufficientemente alte (ovvero l’energia con cui sono lanciate, circa 10 MeV è molto minore alla loro massa espressa in eV, che risulta essere di circa 4 GeV)
• L’interazione è spiegata secondo la meccanica classica, poiché la meccanica quantistica non era ancora stata sviluppata

Così Rutherford riuscì a scrivere la formula per la sezione d’urto differenziale con Ze come carica del nucleo bersaglio e ze la carica della particella α:

Questa formula è il risultato finale del procedimento matematico volto a trovare il legame fra l’E_c della particella incidente, l’angolo di deflessione Φ ed il parametro d’urto b (cioè la distanza fra la traiettoria della particella ed il nucleo, da cui dipende l’interazione, intesa come differente deflessione).
Dalla formula così ricavata, possiamo notare che la sezione d’urto differenziale è proporzionale alla cosec⁴Φ/2.
Ciò significa che se l’angolo di deflessione è zero, la sezione d’urto assume valore di infinito: ciò implicherebbe il verificarsi di una deviazione delle particelle incidenti in ogni caso, ovvero con una distanza qualsiasi fra le traiettorie delle particelle incidenti e la posizione del nucleo (parametro d’urto). Questo perché è stata trascurata la carica negativa degli elettroni.
Inoltre la sezione d’urto diminuisce molto se aumenta l’angolo Ψ, di conseguenza molte delle particelle proseguiranno indisturbate.
Come si può notare dalla formula, la sezione d’urto è direttamente proporzionale alla carica delle particelle inviate ed a quella del nucleo ed inversamente proporzionale al quadrato dell’energia cinetica delle particelle incidenti. Poiché la carica viene elevata al quadrato, la deflessione è indipendente dal segno di essa e quindi in esperimenti di questo tipo non ci è possibile dire se avviene un’attrazione o una repulsione e dal momento che l’energia è al denominatore, più energetiche saranno le particelle inviate, meno saranno deflesse.